Hier noch einen einführenden Satz

1. Einstieg
2. 
Üben - ein vielschichtiger Lerprozess
2.1. Die Ziele
2.2. Der Übungsprozess
2.3. Beziehungsreiches Üben als Phase des Vernetzens und Vertiefens
3. Strukturiertes Üben im Unterricht mit "Entdeckerpäckchen"
3.1. Das Übungsformat
3.2. Kinder rechnen mit Entdeckerpäckchen
3.3. Umsetzungsvorschläge für den Unterricht
4. Differenzierungsmöglichkeiten
5. Produktives Üben mit dem eigenen Lehrwerk
6. Materialien

1. Einstieg

Die Situation:
 
Sie wollten erheben, inwieweit ihre Kinder die Aufgaben des kleinen Einspluseins lösen können, die sie zuvor im Unterricht erarbeitet haben. Nachdem sie die Schülerdokumente durchgeschaut haben, sind sie etwas verzweifelt:
 
(Hier wird noch ein Dokument zum 1+1 Kontext eingestellt)
 
 
Im Unterricht wurde sicher zunächst, durch unterschiedliche anschauliche Darstellungen und Kontexte, Grundvorstellungen zur Addition ("Was ist plus?") erarbeitet. Danach hatten die Kinder, also auch Lea, viele Gelegenheiten, die Aufgaben des kleinen 1+1 in unterschiedlichen Kontexte zu berechnen, bevor am Ende eine Phase folgte, in der die Kinder,vielleicht wie in den oben abgebildeten Päckchen, diese Aufgaben geübt haben. Das vielleicht jeden Tag ein paar Minuten und auch noch einmal zu Hause. Sie haben also die 1+1- Aufgaben wiederholt berechnet und vielleicht haben einige Kinder die Aufgaben auch auswenig gelernt.
 
Aber warum macht Lea dann noch so viele Fehler, wenn sie doch soviel geübt hat?
 
 
Um diesen Fragen nachzugehen, ist es grundlegend, zunächst zu überlegen, wie diese Aufgaben und ihre Ergebnisse bzw. andere Lerngegenstände überhaupt erst einmal in die Köpfe der Kinder kommen. Und vor allem: So in ihren Köpfen bleiben,dass sie immer wieder abrufbar sind und auch in unterschiedlichen Situationen zur Lösung unterschiedlicher Aufgaben herangezogen werden können.
 
Bedeutet Üben auf dieser Grundlage "oft wiederholen" oder "auswendiglernen"? Oder wie muss geübt werden, um nachhaltig neues Wissen zu speichern und abrufbar zu machen?
 
 
Diesen Fragen soll in den folgenden Ausführungen nachgegangen werden, um auf einer differenzierten Grundlage von Zielen, Formen und Formaten des Übens,  Übungsprozesse nachhaltig zu gestalten und sie in den Unterricht integrieren zu können.

2. Üben - ein vielschichtiger Lerprozess

Um den Ausgangsfragen im Einstieg nachzugehen, ist es zunächst sinnvoll zu überlegen, welche Ziele mit Übungsprozessen eigentlich verfolgt werden bzw. konkret: Was Kinder durch und in Übungsprozesse lernen sollen.
Auf dieser Grundlage soll verdeutlicht werden, das "Üben" ein Lernprozess ist, und keine einzelne,gesonderte Phase. Die Konkretisierung unterschiedlicher Übungsformen soll dabei aufzeigen, wie diese differenzierten Zielsetzungen umgesetzt  und zu welchem Zeitpunkten sie im Lernprozess sinnvoll eingesetzt werden können.
 
Dabei beziehen sich die folgenden Ausführungen, anknüpfend an das Ausgangsbeispiel, beispielhaft auf die Rechenoperation der Addition. Es geht allerdings darum, ein allgemeines Verständnis zum "Üben im Mathematikunterricht" aufzubauen. Die Ausführungen sollen somit auch auf andere Lernprozesse übertragen werden.
 
 
Traditionelles Verständnis
Traditionelle stellte der Aufbau der Grundvorstellungen zur Addition die erste Phase im Lernprozess dar. An anschaulichen Darstellungen sollten die Kinder ein Verständnis dafür aufbauen, was sie unter der Addition verstehen sollen („Was ist plus?“). Daraufhin wurden sie in unterschiedlichen Kontexten mit eben dieser Vorstellung konfrontiert und sie "rechneten" erste Plusaufgaben. Abschließend sollte dann die Phase des Automatisierens folgen,  in der, durch die wiederholte Ausführung und „Einübung“ formaler Aufgabenserien zum 1+1, eben diese automatisiert werden sollten.
Unter „Üben“ verstand man also den Prozess der wiederholten Ausführung gleichartiger Aufgaben, mit dem Ziel, diese in weiteren Lernprozesses geläufig zur Verfügung zu haben.
 
Und heute?
Wittmann hat (1990; 1992) die Vorstellung revidiert, ein Stoff müsse zuerst eingeführt werden, bevor sich unmittelbar eine längere Phase automatisierenden Übens anschließe. Einführen und Üben seien keine strikt voneinander zu trennenden Phasen, sondern eng miteinander verzahnt: „Üben ist damit im wesentlichen das Wiederaufnehmen eines (entdeckenden) Lernprozesses, das Nocheinmalnachbilden, Nocheinmalnachbauen von Lernsituationen. An der zunehmenden (und nicht schon gleich vermittelten) Mechanisierung von Verfahren, an der Verflechtung von Wissen sowie an der geläufigeren Handhabung von Strategien werden die Schüler bewusst und aktiv beteiligt“ (Winter 1984, 10).
 
Auch der Lehrplan in NRW greift eben diese Forderung auf. Dort stellt "Beziehungsreiche Üben" eine zentrale Leitidee des Mathematikunterrichts dar und wird wie folgt konkretisiert:
 
„Beziehungsreiches Üben dient der Geläufigkeit und der Beweglichkeit.
Es sichert, vernetzt und vertieft vorhandenes Wissen und Können.
Es fördert die Einsicht in Gesetzmäßigkeiten und Beziehungen, die Phänomene aus der Welt der Zahlen, Formen und Größen strukturieren.“

(MSW NRW 2008, S.55)

 

Was heißt das konkret?
Was genau sollen wir als Lehrkräfte unter Vernetzung und Vertiefung verstehen? Wie können wir die Schüler bewusst und aktiv daran beteiligen? Und welche Aufgaben können eben diese Einsichten ermöglichen, die zu einer Geläufigkeit und Beweglichkeit des Wissens führen?  
 

Um dies im Folgenden näher auszuführen, ermöglicht Ihnen die Selbsterfahrungsaufgabe, einen Einstieg in hinführende Überlegungen zu bekommen.
Nehmen Sie sich ein paar  Minuten Zeit, um die folgenden  Aufgabenserien auszurechnen


Was fällt ihnen auf? Gibt es für sie Unterschiede im eigenen Lösungsprozess?

 
 
Der Ausschnitt aus dem Lehrplan zeigt: Die Automatisierung (Geläufigkeit) ist auch heute noch Zielsetzung von Übungsprozesse und muss und soll weiterhin ein wichtiger Bestandteil sein, wenn es darum geht, Wissen abrufbar zu machen. Jedoch wird deutlich, dass das Verständnis um zentrale, weitere Zielsetzungen erweitert werden muss. Es wird konkretsiert, dass Übungsprozess die Ziele der Sicherung, Vernetzung und Vertiefung anstreben müssen, um das Wissen "beweglich" zu machen. Dabei geht der Lehrplan auch auf das "Wie" ein, imdem formuliert wird, dass das Geläufig- und Beweglichmachen nur durch die Einsichten in Gesetzmäßigkeiten und Beziehungen erreicht werden kann.
 
So soll im Übungsprozess eine Phase integriert werden, inder eben diese Einsichten in Gesetztmäßigkeiten und Beziehungen gefördert werden. Denn nur dann können Automatisierende Übungen nachhaltig angelegt werden.  
 
 
    In der folgenden kommentierte Präsentation soll am Beispiel
    unterschiedlicher Aufgabenformen die unterschiedlichen Phasen
    des Übungsprozesses konkretisiert werden. Dabei soll deutlich
    werden, wie zentral die Auswahl geeigneter, beziehungsreicher
    Aufgaben ist und welche Art der Darstellung und Struturierung
    der jeweiligen Aufgaben zu welchen Zeitpunkt im Übungsprozess
    sinnvoll ist.
    Produktives Üben soll dabei jedoch als Lernprozess dargestellt
    werden, indem sowohl der Aufbau von Grundvorstellungen, die
    Vernetzung und Vertiefung, als auch das Automatisieren ihren
    Platz finden müssen, um Wissen nachhaltig und beweglich zu
    speichern, und dabei vorallem Anschauungen .
 
 
 
 
Diese Ausführungen zeigen (in Bezug auf unsere Einstiegsproblematik):
Üben ist mehr bzw. muss mehr sein als  bloßes "Wiederholen" von Aufgabenserien. Hinter dem "Auswendiglernen" steckt deutlich mehr, als ein auswendig Aufsagen der Kombination von Aufgabe und Ergebnisse. Es geht vielmehr um vernetzte und vertiefte Einsichten in Strukturzusammenhänge, Beziehungen und Gesetzmäßigkeiten, die das neue Wissen sichern und flexibel einsetzbar machen.
 
Wenn sie nun nocheinmal einen Blick auf das Ausgangsbeispiel werfen,
können sie schnell erkennen, von welcher Art die Aufgabenserien sind,
die Lea gerechnet hat und mit welchen sie wahrscheinlich auch "geübt" hat.
Die unstrukturierten Aufgabenserien ermöglichten keine Einsichten in
Gesetzmäßigkeiten oder Beziehungen zwischen Zahlen und Aufgaben, so dass 
 
 
 
 
 
 
 
Krauthausen und Scherer fassen zusammen, dass das Üben oder Festigen eines Lerninhaltes einer modernen Mathematikdidaktik nur dann Rechnung trägt, wenn folgende Aspekte verfolgt werden:
  • Neue Erkenntnisse werden mit bereits früher erworbenen Wissen verknüpft
  • Das Wissen kann auch auf andere mathematische Inhalte und im Alltagswissen angewendet werden 
  • Mathematische Kompetenzen werden gefestig
  • Durch die Aufgabenstellungen kommt es zu Entdeckungen von Eigenschaften und Strukturen
  • Automatisation von Rechenverfahren
 
 
Im Folgenden soll der Phase des Vernetzens und Vertiefens eine zentrale Bedeutung zugedacht werden.
Schaut man nocheinmal auf die Aufgabenserien, die Lea im Eingangsbeipsiel gerechnet hat, wissen wir nun, dass die unstrukturierte, formale Aufgabenauswahl eben diese Vernetzung und Vertiefung nicht ermöglicht hat. 
Deutlich wurde aber, dass auch die Phase des Vernetzen und Vertiefens, die eben die wichtigen Einsichten in Beziehungen, Strukturen und Gesetzmäßigkeiten fördern soll, unterschiedlich formal und anschaulich gestaltet werden kann.
 
Beziehungsreich geübt wird dabei meist in formalen und strukturierte Übungsformen, die vor allem durch unterschiedliche substantielle Übungsformate in den Unterricht integriert werden können.
Diese Übungen bestehen aus Serien von Aufgaben, die systematisch variiert werden können. Die Ergebnisse der Aufgaben stehen in einem gesetzmäßigen Zusammenhang. Um das bewegliche Denken der Kinder zu fördern, solle dabei eben das Ausnutzen von Strategien und Strukturen(gefördert werden, um so das beziehungsreiche Lernen zu fördern. Die Motivation der Schüler wird gefördert durch das Auftreten bestimmter Muster und gesetzmäßiger Phänomene, und ermöglicht dabei die integrierte Förderung inhalts- und prozessbezogener Kompetenzen.
 
 
 
Neben anderen Übungsformen stellt das produktive Üben mit operativen Aufgabenserien eine gute Möglichkeit dar, beziehungsreiches Denken der Kinder zu fördern.
Dazu soll im Folgenden am Beispiel der "Entdeckerpäckchen" ein eben solchens Übungsformat vorgestellt werden. Dabei soll Bezug zu Zielsetzungen, Potentialen und Umsetzungsmöglichkeiten sowie Differenzierungsmaßnahmen genommen werden. 
 
 
Bei „Entdeckerpäckchen“ (auch „Schöne Päckchen“ genannt“) handelt es sich um ein substantielles Aufgabenformat, das produktives Üben ermöglicht. Das Format soll als ein mögliches Beispiel konkretisieren, wie die Zielsetzungen produktiven Übens im Unterrichts verfolgt und so beziehungsreiches Üben umgesetzt werden kann.
Dazu ermöglicht der folgende Filmausschnitt zunächst eine Einführung in das Aufgabenformat. Dabei wird das zugrunde liegende Prinzip und die Potentiale der Entdeckerpäckchen aufgezeigt und erklärt, wie beziehungsreiches Üben mit dem Übungsformat ermöglicht wird.

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(Video ab 0:35- 1:55 min)
 
Entdeckerpäckchen ermöglichen durch ihr operative Struktur die integrierte Förderung inhalts- und prozessbezogener Kompetenzen. Im Prozess des Lösen der Päckchen wird, neben dem Zahlenrechnen, vor allem der Blick für Zahlbeziehungen und Gesetzmäßigkeiten geschult. Das Nutzen der Zahlbeziehungen und Rechengesetze führt so zu einem flexiblen Rechnen. Der Aufforderungscharakter, die gemachten Auffälligkeiten zu beschreiben und zu begründen, ermöglicht dabei neben dem Problemlösen auch die Förderung argumentativer Kompetenzen. So kann mit Entdeckerpäckchen zu unterschiedlichen Rechenoperationen produktiv und somit beziehungsreich geübt werden. 
 
 
 

Im folgende Video soll Carla ein Entdeckerpäckchen lösen und dabei ihre Vorgehensweise und die dabei gemachten Entdeckungen beschreiben. Das Video ermöglicht ihnen einen Einblick, beispielhaft zu sehen, wie Kinder mit Entdeckerpäckchen rechnen und dabei beziehungsreiche Additionsaufgaben lösen und "üben". Dabei wird deutlich, welche Lernchancen sich ergeben und in welchen Maß der Einsatz von  "Entdeckerpäckchen" beziehungsreiches Denken fördern kann. 

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Carlas Vorgehen und ihre Entdeckungen und Begründungen sind aber nicht selbstverständlich. Das Erkennen und Nutzen von Zahlbeziehungen und Gesetzmäßigkeiten muss durch Lerngelegenheiten initiiert und gefördert werden, indem Kinder kontinuierlich in beziehungsreichen Zusammenhängen üben.  Das gelingt nicht allen Kindern gleich schnell und gleich erfolgreich, sodass es wichtig ist, die Kinder aufmerksam zumachen auf Zahlbeziehungen, Gesetzmäßigkeiten und Strukturen und sie diese aktiv entdecken zu lassen.
 
So bietet es sich an, Entdeckerpäckchen in unterschiedlichen Aufgabenvariationen im Unterricht zu thematisieren, da diese unterschiedliche Schwerpunkte im Bezug auf die Zielsetzung des produktiven Übens ermöglichen. Im Folgenden werden dazu beispielhaft zur Addition mögliche Arbeitsaufträge für das 2./3. Schuljahr differenziert und aufgezeigt, sowie die jeweilige Schwerpunktsetzung des verfolgten Zieles konkretisiert. Aber auch mögliche Schwierigkeiten im Lernprozess sollen aufgezeigt werdemn("Knackpunkte"), um diesen vorbeugend begegnen zu können.
Die Reihenfolge ist dabei nicht als starre Vorgabe anzusehen. Jedoch ist es sinnvoll, gewisse Variationen zu Beginn, und andere erst zu einem späteren Zeitpunkt einzusetzen, da unterschiedliche Einsichten für weitere Bearbeitungen vorausgesetzt werden. 
 
Im Folgenden sollen diese unterschiedliche Aufgabenvariationen vorgestellt. Versuchen sie aber an dieser Stelle zunächst selbst, diese an einem Beispiel auszuführen. Versuchen sie,  dabei ihren Lösungsweg zu reflektieren und vollziehen sie nach, welche Lernchancen und Potentiale sich in Bezug auf beziehungsreiches Üben sich dabei ergeben (können).
 
Versuchen Sie ein Entdeckerpäckchen aus den Aufgaben zu machen!
  • Welche Aufgabe passt nicht ins Muster?
  • Beschreiben Sie dies bezüglich der von Ihnen entdecken operativen Struktur und versuchen, Sie ihre Entdeckungen darzustellen!
  • Setzen Sie dann das Muster mit weiteren Aufgaben fort!

Probieren sie es einfach mal auf. Tipp: Hilfreich ist es, die Aufgaben aufzuschreiben!

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1. Vorkenntnisse erheben und Entdeckungen ermöglichen
2. Muster fortsetzen
3. Störungen in Mustern erkennen
4. Aufgaben zu Entdeckerpäckchen ordnen
5. Entdeckungen beschreiben und begründen
 
6. Eigene Entdeckerpäckchen erfinden
 
 
 
 
Das substantielle Übungsformat eignet sich im Besonderen auch für heterogene Lerngemeinschaften. Deutlich wird in den Ausführungen zu den Arbeitsaufträgen, dass sich  Differenzierungsmöglichkeitenh zum einen von innen heraus ergeben, da alle Kinder an dem selben Lerngestand auf ihrem Niveau arbeiten können. Sprachliche Ausdrucksweisen und die Art und Tiefe der Begründungen können sich stark unterscheiden. Jedes Kind kann dabei zunächst seinen eigenen Zugang finden. Darstellungsmittel wie Markierungen helfen, Entdeckungen zunächst für sich und andere darzustellen, Plättchen ermöglichen es, die Auffälligkeiten zu begründen. In diesem Prozess kann jedes Kind Fortschritte erzielen und auf ein individuell gewähltes MIttel zurückgreifen.
Durch die Wahl des Zahlenraumes und der Zahlwerte, so wie die "Art" der operativen Veränderung können die Entdeckerpäckchen auch gezielt differenzierte Anforderungsbereiche ansprechen, sodass sie als Lehrkraft auch hier die Möglichkeit haben, jedem Kind gerecht zu werden..
 
 
Produktive Übungsphasen sollten jedoch zu jeder Zeit in die verschiedenen Lernprozesse integriert werden. Es geht darum, kontinuierlich in Sinnzusammenhängen beziehungsreich zu üben, um Kenntnisse und Fertigkeiten zu festigen, um diese in späteren Kontexten abrufen zu können und die entdeckten Beziehungen und Strukturzusammenhänge für die Bearbeitung der Aufgaben zu nutzen. Fatal wäre es, substantielle Übungsformate gesondert einzusetzen und damit (für den eigenen Unterricht) das beziehungsreiche Üben „abzuhandeln“.
 
 
 
 
In dem folgenden Video soll dargestellt werden, wie auch Aufgaben aus ihren Schulbüchern durch kleine Variation der Zahlenwerte, durch die Erweiterung von Aufgabenserien oder durch gewisse Impulse zu beziehungsreichen Übungsangeboten werden können. Dabei stehen auch hier die Aufgaben beispielhaft für den Zahlenraum bis 100 und können, durch Variation des Zahlbereichs oder aber auch durch den Fokus auf eine andere Rechenoperation, in anderen Klassenstufen eingesetzt werden.