Wie gelingt es im Unterricht leistungsstarke, aber insbesondere mathematisch begabte Kinder herauszufordern?
Mathematisch leistungsstarke und begabte Kinder profitieren von gutem, zeitgemäßen Mathematikunterricht. Sie benötigen anregende und herausfordernde Aufgaben, die es ihnen ermöglichen, ihre Fähigkeiten und Begabungen zu zeigen und weiterzuentwickeln (vgl.
Grundlagen für zeitgemäßen Mathematikunterricht).
Leistungsstarke und begabte Kinder sollten in der Regel mit allen anderen an gemeinsamen Inhalten arbeiten. Dazu sind insbesondere Lernumgebungen geeignet, die "Rampen" für leistungsstarke Kinder enthalten (vgl. auch
Umgang mit Heterogenität). Darüber hinaus muss es auch möglich sein, dass begabte Kinder sich im Unterricht Aufgaben zuwenden, die sie besonders herausfordern und nicht für alle Kinder geeignet sind.
Auf dieser Seite werden zu folgenden zentralen Punkten Anregungen gegeben:
Derartige herausfordernde Aufgaben können aus Lernumgebungen hervorgehen. Dafür bieten sich vielfältige Themen an, z. B.:
-
Zahlen und Muster, wie figurierte Zahlen
-
Kombinatorische Aufgaben
-
Aufgaben, die auf Gleichungssysteme hinauslaufen
-
Rechenpyramiden oder Zahlenmauern
-
Summen von Reihenfolgezahlen/Treppenzahlen
Viele dieser Themen sind in Veröffentlichungen aufgearbeitet und auch in Lehrwerken wiederzufinden (z. B. Zahlenmauern). An dieser Stelle soll im Weiteren zunächst am Beispiel von Zauberfiguren eine Lernumgebung vorgestellt werden, die ausbaufähig ist, variiert werden kann und das Potenzial enthält leistungsstarke und begabte Kinder zu fördern. Dieses Beispiel wurde gewählt, weil Sie dazu auch Anregungen in Lehrwerken finden.
Zauberfiguren – eine Lernumgebung für alle Kinder von Klasse 2 bis Klasse 4 und darüber hinaus
Zunächst wollen wir mit einem Zauberkreuz einsteigen und die Aufgabe so mit Aufträgen versehen, dass alle Kinder einen Zugang finden und im Weiteren Herausforderungen für leistungsstarke und begabte Kinder erwachsen.
In dieses Zauberkreuz sind die Zahlen von 1 bis 5 so einzusetzen, dass die Summe der Zahlen auf den beiden Linien gleich ist.
-
Finde eine weitere Möglichkeit.
-
Findest du alle Möglichkeiten? Bist du dir sicher, dass das alle sind?
Alle Kinder können probieren, am besten mit Ziffernkärtchen. Auf einem Arbeitsblatt für die Kinder sollten mehrere Zauberkreuze abgebildet sein, um mehrere Lösungen zu dokumentieren.
Mögliche Überlegungen/Entdeckungen der Kinder: Die Zahl in der Mitte gehört zu beiden Linien. Wir müssen aus vier Zahlen jeweils Summen von zwei Zahlen bilden, die gleich groß sind. 1 + 5 = 6 und 2 + 4 = 6 – in diesem Fall steht die 3 in der Mitte. 1 + 4 = 5 und 2 + 3 = 5 – in diesem Fall muss die 5 in der Mitte stehen. 3 + 4 = 7 und 5 + 2 = 7 – jetzt muss die 1 in der Mitte stehen. Die Summen auf den Linien sind dann 9, 10 bzw. 8.
Dieses Zahlenkreuz kann auf fünf Zahlen auf jeder Linie (Einsetzen der Zahlen 1 bis 9) erweitert werden. Die häufigste Lösung der Kinder, die uns begegnet ist: 5 in der Mitte und die restlichen Zahlen so verteilt, dass auf jeder Linie noch 20 hinzukamen.
Zauberdreiecke
Diese Zauberfigur finden Sie bereits in jedem Mathematiklehrwerk ab Klasse 2.
Setze die Zahlen von 1 bis 6 ein, so dass die Summen auf den Seiten des Dreiecks gleich groß sind.
-
Finde eine weitere Möglichkeit.
-
Findest du die kleinste/größte Summe? Bist du dir sicher, dass es die kleinste/größte Summe ist?
Auch hier ist es möglich das die Kinder eine Lösung durch Probieren finden. Die kleinstmögliche Summe (Zauberzahl) ist 9, die größtmögliche 12, aber auch 10 und 11 sind als Summen möglich.
Auf dem Arbeitsblatt mit mehrere Zauberdreiecken sollten die Kinder auch gefundene Zwischenanordnungen notieren. Das kann helfen, Zusammenhänge zwischen den Lösungen zu finden und zu begründen. Gleichzeitig haben die Kinder ein Dokument, das sie unterstützt, ihr Vorgehen anderen zu beschreiben und zu veranschaulichen.
Ein Kind hat festgestellt:
"Man bräuchte ja nur alle Zahlen zu addieren und die drei größten, bzw. die drei kleinsten noch einmal dazurechnen und dann das Ergebnis durch Drei zu teilen. Dann weiß man, welches die größte und welches die kleinste Zauberzahl ist.“
Nicht ganz so perfekt hat ein anderes Kind seine Einsicht zu Papier gebracht:
Eine tolle Einsicht, die hilft, auch für die anderen Zauberzahlen Lösungen zu finden:
Die Summe von 1 bis 6 beträgt 21 (6. Dreieckszahl). Die größte Zauberzahl ergibt sich als (21 + 6 + 5 + 4) : 3 = 36 : 3 = 12, die kleinste als (21 + 1 + 2 + 3) : 3 = 27 : 3 = 9 und die andern als (21 + 2 + 3 + 4) : 3 = 30 : 3 = 10 sowie (21 + 5 + 4 + 3) : 3 = 33 : 3 = 11. Und mit diesen Zerlegungen lassen sich konkrete Zauberdreiecke schnell finden.
Die Aufgabenstellungen zum Zauberdreieck bieten nun weitere Variationsmöglichkeiten, um herausforderende Aufgabenstellungen zu formulieren.
-
Unlösbare Aufgaben, die die Begründungsfähigkeit der Kinder herausfordern.
Setze die Zahlen 1,...6 so ein, dass die Summe der Zahlen auf den drei weißen Feldern und die Summe der Zahlen auf den drei schraffierten Feldern gleich ist.
-
Zahlen an unterschiedlichen Stellen vorgeben und Zahlen, die einzusetzen sind.
Ein Beispiel:
Auf jeder Seite des Dreiecks soll die Summe 50 betragen.
Setze die folgenden Zahlen an der richtigen Stelle ein: 8; 17; 30
Diese Aufgabe kann weiter variiert und damit der der Schwierigkeitsgrad verändert werden.
Immer 100:
Setze die folgenden Zahlen an den richtigen Stellen ein: 23, 25, 41
Eine weitere Variation:
Keine Zahlen im Dreieck vorgegeben.
Immer 50: Setze die Zahlen so ein, dass sich auf jeder Dreiecksseite die Summe 50 ergibt. 7, 13, 18, 19, 25, 30
-
Das Dreieck kann vergrößert werden.
Also z. B. vier Zahlen auf jeder Dreiecksseite. Eine mögliche Aufgabenstellung zum Einstieg:
Setze die Zahlen von 1 bis 9 so ein, dass sich auf jeder Seite die gleiche Summe ergibt.
Die oben zitierte Idee des Kindes hilft uns auch hier, die größtmögliche Summe (Zauberzahl) zu finden. Die Summe der Zahlen von 1 bis 9 beträgt 45. Addieren wir die drei größten Zahlen hinzu, erhalten wir 45 + 9 + 8 + 7 = 69, 69 : 3 = 23 und damit ist 23 die größte Seitensumme. Die kleinste Summe kann ebenfalls auf diese Weise bestimmt werden, da 45 + 1 + 2 + 3 = 51. Damit erhalten wir 51 : 3 = 17 – die kleinste Zauberzahl ist 17.
Dieses Aufgabenformat kann weitergeführt werden bis zur "Einsteinaufgabe" [1].
Die neun Kreise stellen Eckpunkte von vier kleinen und drei großen Dreiecken dar. Die Zahlen von 1 bis 9 sind so einzusetzen, dass die Summe in jedem dieser Dreiecke gleich ist.
Bevor es ans Probieren geht, ist es sinnvoll zu überlegen, welche Summe denn infrage kommt. Es gibt drei kleine Dreiecke, die keine Punkte miteinander gemeinsam haben, in denen aber alle 9 Zahlen auftreten. Also muss die Summe in diesem Dreiecken 45 : 3 = 15 sein. Dies muss dann auch die Summe in den anderen Dreiecken sein.
Kinder werden in der Regel zunächst probieren. Tom fand ganz schnell folgende Lösung, konnte uns aber auch auf Nachfragen nicht erklären, wie "Ich habe plötzlich eine Idee gehabt".
Eine Fünftklässlerin hat ihren Lösungsweg folgendermaßen beschrieben:
Und ein Kind war so angetan von der Aufgabe, dass es diese mit nach Hause nahm und stundenlang bis zum Finden einer Lösung probiert hat.
Wenn man magische Quadrate noch zu den Zauberfiguren hinzurechnet, kann die Thematik weiter ausgebaut werden. Weitere Anregungen finden Sie auch bei Lorenz (1997).
Alle Kinder können sich mit "Zauberfiguren" beschäftigen; können ihre arithmetischen Kompetenzen weiterentwickeln. Sie haben die Chance, Zahlbeziehungen zu entdecken und zu nutzen und üben "nebenbei" auch das Rechnen. Die Lösungen der Kinder werden sich quantitativ und qualitativ unterscheiden. Um talentierte und begabte Kinder zu erkennen, können die Begabungsmerkmale von Käpnick (1998) genutzt werden.
Aufgaben mit besondern Herausforderungen
Zusätzlich können auch Aufgaben, wie die folgende "Verfolgungsjagd" angeboten werden. Diese könnte eingebettet sein in "Einhol- und Überholaufgaben", die ein Angebot für alle Kinder sind oder auch als Herausforderung angeboten werden, wenn andere Kinder weiteren Übungsbedarf haben.
Die Verfolgungsjagd – Ein Hund jagt einen Fuchs
Jeweils in der Zeit, in der der Fuchs 9 Sprünge macht, macht der Hund 6 Sprünge, aber mit 3 Sprüngen legt der Hund einen ebenso langen Weg zurück, wie der Fuchs mit 7 Sprüngen.
Der Hund und der Fuchs laufen zur gleichen Zeit los, wobei der Fuchs allerdings 60 Fuchssprünge Vorsprung hat.
Mit wie vielen seiner Sprünge holt der Hund den Fuchs ein, wenn der Hund genau in der Spur des Fuchses läuft?
Hätten Sie derartige Lösungen von Viertklässlern erwartet? Können Sie die Überlegungen der Kinder nachvollziehen? In diesen beeindruckenden Schülerdokumenten werden vielfältige mathematische Kompetenzen sichtbar. Um derartige Aufgaben zu lösen, ist es auch einmal sinnvoll und erforderlich, dass leistungsstarke Kinder in homogenen Gruppen zusammenarbeiten.
Zusätzlich zur Förderung im Unterricht bietet die Umsetzung eines "Drehtürmodells" der gesamten Grundschule die Möglichkeit, über alle Fächer hinweg Kinder zu fördern. Begabte und an einem Inhaltsbereich interessierte Kinder verlassen für einzelne Stunden den Regelunterricht ihrer Klasse und besuchen sogenannte "Pluskurse", die für sie zusätzliche Herausforderungen bieten. Neben einem Pluskurs Mathematik können weitere zu naturwissenschaftlichen, sprachlichen bzw. übergreifenden Themen angeboten werden.
Wenn es im Territorium eine zusätzliche Möglichkeiten zur außerschulische mathemtischen Förderung gibt, sollten leistungsfähige, talentierte und begabte Kinder ermuntert werden, dieses Angebot zu nutzen.
[1] Einstein soll diese Aufgabe als Knobelaufgabe in der Frankfurter Zeitung veröffentlicht haben.
