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Hintergrund

Zahlen verstehen

Ziel des Anfangsunterrichts ist es, das Zahlverständnis der Kinder zu entwickeln. Dazu gehört natürlich nicht nur, dass Kinder vorwärts, rückwärts und von beliebigen Startzahlen weiterzählen können, sondern Zahlen als Anzahlen verstehen, die aus anderen Zahlen bestehen (siehe für inklusiven MU auch unter pikas-mi.dzlm.de).
 
Für eine tragfähige Zahlvorstellung benötigen die Kinder verschiedene Teilkompetenzen (vgl. Häsel-Weide, Nührenbörger, Moser-Opitz & Wittich 2013):


Zählen können

Zählen ist für die Kinder ein Einstieg in die Welt der Zahlen.
Doch was muss ein Kind eigentlich alles können um richtig (Ab-)Zählen zu können?

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Denken Sie noch einmal an das Einstiegsbeispiel:
Ben, Sarah und Tom zeigen ihrer Lehrerin was sie schon wissen.
Tom zählt die Punkte: "Acht!" Dann zählt er ein zweites Mal: "Wenn ich unten anfange, dann sind es eins, zwei, drei, ... acht, auch acht!", erklärt er stolz.

"Das sind acht!", sagt Sarah, "denn oben sind fünf und unten drei, das sind zusammen acht!".

Ben zählt die Plättchen ab: "Eins, zwei, drei, ... sie - ben!" Nach Aufforderung der Lehrerin noch einmal zu zählen, bietet er eine andere Lösung an: "Eins, zwei, drei,  ... sechs!"

Beide Lösungen bleiben für ihn nebeneinander gleichwertig, als richtig stehen. Er sieht keinen Konflikt in den unterschiedlichen Ergebnissen seines Zählprozesses. Seine Antwort auf die Frage der Lehrerin "Wie viele Plättchen sind es?" ist der Zählprozess und nicht die Anzahl der Plättchen.

Über welche Kompetenzen verfügen diese Kinder bereits?
Warum kann Ben die Anzahl der Plättchen (noch) nicht sicher bestimmen?

Was für uns selbstverständlich ist, kann für einen Schulanfänger eine große Herausforderung sein.
Mit dieser Eigenaktivität versetzen wir Sie für ein paar Minuten in die Lage eines Schulanfängers:
 

Eigenaktivität
Stellen Sie sich vor, die Buchstaben des Alphabets sind Zahlworte (a = 1, b = 2, ... v = 22).

Achtung: Übersetzen Sie bei den Aufgaben die Buchstaben nicht zurück in Zahlen. Diese Hilfe steht Kindern nicht zur Verfügung (vgl. Wartha & Schulz 2013, S. 43).

Zählen Sie bitte vorwärts ab a.
Zählen Sie bitte vorwärts ab n.
Zählen Sie bitte rückwärts ab k.
Nennen Sie den Vorgänger von q.
Zeigen Sie auf einmal h Finger.
Reichen beide Hände um l Finger zu zeigen?
Berechnen Sie h minus e.

Was ist Ihnen leicht gefallen? Bei welcher Aufgabe hatten Sie Schwierigkeiten?

Zahlbegriffserwerb_Einstieg_Bild04_HaendeAcht.jpg

Für Erwachsene ist das Ergebnis der Aufgabe 8 - 5 = 3 leicht an den Händen abzulesen (man muss ja nur eine Hand wegnehmen). Für Kinder kann dies ein Problem darstellen, denn sie müssen Zahlen zunächst als Zusammensetzung aus anderen Zahlen begreifen.

Denken Sie an Ihren Selbstversuch h minus e. Die einzelnen Buchstaben stehen zwar in keiner numerischen Beziehung zu einander, aber solange das bei der Zahlwortreihe für die Kinder auch so bleibt, können sie nicht sehen, dass drei die Hälfte von sechs ist und Rechenstrategien ergeben keinen Sinn. 

Sie werden dabei bleiben, die Aufgaben zählend zu lösen, weil sie damit in den ersten Schuljahren erfolgreich sind. Zwar kommen sie damit häufig zu richtigen Ergebnissen, aber das zählende Rechnen ist nicht tragfähig für die Flexibilität in höheren Zahlenräumen.
 

Zählprinzipien nach Gelmann und Gallistel (1986, zitiert nach Hasemann & Gasteiger 2014)

Um eine Menge richtig abzählen zu können, müssen die Kinder über verschiedene Teilkompetenzen verfügen:

  1. Eindeutigkeitsprinzip
  2. Prinzip der stabilen Ordnung
  3. Anzahlbewusstsein (Kardinalprinzip)
  4. Abstraktionsprinzip
  5. Prinzip der Irrelevanz der Anordnung

Um die Frage "Wie viele sind es?" beantworten zu können, muss Ben die Zahlwortreihe beherrschen (Prinzip der stabilen Ordnung), einem Gegenstand genau ein Zahlwort zuordnen (Eindeutigkeitsprinzip) und wissen, dass das zuletzt genannte Wort des Zählprozesses die Anzahl (Kardinalprinzip) angibt.

Tom stellt fest, dass er den Startpunkt des Zählens frei wählen kann und jedes Mal zum selben Ergebnis gelangt (Prinzip der Irrelevanz der Anordnung).
Unter dem Abstraktionsprinzip versteht man, dass es für die Bestimmung der Menge irrelevant ist, um welche Gegenstände es sich handelt.

Erste Zählstrategien stellen einen wichtigen Schritt auf dem Weg zum Zahlbegriffserwerb dar. Sie sind notwendig und gehören zum Lernprozess. Zählen zu können, ist aber keine Garantie dafür, Zahlen ausreichend zu verstehen.

Welche Schwierigkeiten beim Umgang mit Zahlen auftreten können, wenn keine sichere Zahlvorstellung vorhanden ist, haben Sie gerade selber erfahren.
Daher ist - besonders zu Beginn des ersten Schuljahrs - der Aufbau von Zahlvorstellungen ein wichtiger Unterrichtsinhalt (vgl. Gaidoschik 2014).
 

Beziehungen zwischen Zahlen

Neben dem Zählen ist das Vergleichen von Mengen (mehr/ weniger/ gleich viel) für die Kinder ein Einstieg in die Welt der Zahlen. Beide Aspekte sind ein wichtiger Bestandteil im Unterricht.
Was bedeutet es, Beziehungen zwischen Zahlen herstellen zu können?
 

Mengen vergleichen

Unterschiedliche Mengen lassen sich miteinander vergleichen. Ist es mehr als/ weniger als oder gleich viel?
Wie viele Kinder sind in der Klasse? Mehr Jungen oder mehr Mädchen? Wie viele Fenster hat unser Klassenzimmer? Gibt es mehr Tische oder mehr Stühle?

Beim Anzahlvergleich, z. B. mehr Tische oder mehr Stühle, ist es nicht notwendig die genaue Anzahl der Gegenstände zu bestimmen.
Wenn an jedem Tisch zwei Stühle stehen, sind es auf jeden Fall mehr Stühle.
Wenn Jungen und Mädchen sich nebeneinander in eine Reihe stellen, kann genau bestimmt werden, wie viele mehr es sind. 
Wer Beziehungen zwischen Zahlen mit Zahlen beschreiben kann, kann auch flexible Rechenstrategien verstehen. 
Die Unterschiede zwischen zwei Anzahlen lassen sich aber auch genau bestimmen (z. B. "Ich habe 3 Plättchen mehr als du!" oder "Ich habe 4 Plättchen weniger als du!").
 

Mengen als Teile und Ganzes verstehen

Kinder, die über 8 nur wissen, dass sie "nach 7" und "vor 9" kommt, haben noch kein ausreichendes Zahlverständnis.
Erst wenn sie bei 8 z. B. auch an 5 und 3 denken, sind sie auf dem Weg, Zahlen zu verstehen und im Laufe des Schuljahrs auch mit ihnen zu rechnen (vgl. Gaidoschik 2014).

Die Zahl 8 lässt sich aus verschiedenen kleineren Zahlen zusammensetzen. In dieselbe Darstellung lassen sich unterschiedliche Zerlegungen hineinsehen:
 

Wichtig ist der Austausch über die unterschiedlichen Sichtweisen. Denn nur so lernen die Kinder diese kennen und verstehen, damit sie ihre eigene Vorstellung erweitern können. Mit ausreichender Erfahrung können die Kinder auch größere Anzahlen als 4 ad hoc erkennen, ohne sie abzählen zu müssen (vgl. Krauthausen 1995, S. 94).

Zahlzerlegungen können auch z. B. durch Werfen von Wendeplättchen hergestellt werden. So können zur Zahl 8 unterschiedliche Zerlegungen produziert werden.
Durch Sortieren können alle möglichen Zerlegungen gefunden werden.

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Anzahlen erkennen und darstellen

Die Darstellung von Zahlen auf unterschiedliche Weisen ist ein weiterer Unterrichtsinhalt.
Eine tragfähige Zahlvorstellung wird erst dadurch aufgebaut, indem alle Grundvorstellungen zu den Zahlen angesprochen werden. 
Die beiden zentralen Grundvorstellungen zu natürlichen Zahlen sind der Kardinalzahlaspekt (Zahlen als Mengen) und der Ordinalzahlaspekt (Zahlen als eindeutige Positionen mit Vorgänger und Nachfolger).

Im Folgenden wird der Unterschied zwischen den beiden Aspekten kurz erläutert.
 
Eigenaktivität
 Zeigen Sie 8 auf dem Zwanzigerfeld:


Viele Kinder denken Zahlen als Stationen in einer Reihe:

Selbstverständlich ist die ordinale Zahlvorstellung wichtig. Alle Kinder sollten den Vorgänger und den Nachfolger jeder Zahl kennen.
In vielen Situationen ist die Reihenfolge sehr wichtig. Denken Sie z. B. an Wettrennen. Hier ist es nicht egal, wo man anfängt zu zählen, sonst wird sich der Sieger schnell beschweren. Dieser Unterschied sollte den Kindern klar werden.

Weitere Lösungen für die Darstellung der Zahl 8 auf dem Zwanzigerfeld sind auch:

Auch folgende Lösungen sind mathematisch korrekt:

Thematisieren Sie hier mit ihren Kindern Möglichkeiten, Anzahlen am Zwanzigerfeld so darzustellen, dass man schnell sehen kann, um wie viele Punkte es sich handelt.

Um Anzahlen schnell darzustellen, eignet sich das Zwanzigerfeld NUR in Verbindung mit den Fünfer- und Zehnerstreifen.
Plättchen müssen einzeln abgezählt werden; die Kinder sollen Anzahlen jedoch schnell darstellen.

Plättchen sind natürlich nicht die einzige Möglichkeit Zahlen darzustellen. 
Weitere Zahldarstellungen sind z. B. Strichlisten, Objektmengen, Ziffern, Maßangaben und Zahlwörter. Wichtig ist auch hier, dass die einzelnen Darstellungen nicht selbstverständlich miteinander in Verbindung gebracht werden. Die Kinder müssen lernen, zu einem Zahlwort eine passende Menge zu legen oder umgekehrt zu einer Menge das passende Zahlwort zu nennen (für inklusiven MU siehe auch hier).


Finger sind erlaubt

Weitere Darstellungen für diese Übungsform sind Fingerbilder. Eine Übungsform, die Sie sowohl mit der gesamten Klasse als auch mit einzelnen Kindern machen können, sind Fingerbilder "auf einmal" zu zeigen (statische Nutzung).
Auch hier gilt es die Übungen sprachlich zu begleiten - "Beschreibe was du siehst!"
"Kannst du mir acht auch noch anders zeigen?", "Wie viele Finger sind an der rechten Hand - wie viele an der linken?"

Wie Sie diese Übungen nutzen können, um die Kinder zu befähigen, auch ohne Material zu rechnen, finden Sie im Materialteil.


Null ist mehr als Nichts!

Die Null ist eine Zahl, mit der man zählen und rechnen kann. Beziehen Sie daher die Null von Anfang an in die Übungen ein.
Um eine tragfähige Vorstellung zur Null aufzubauen, ist es nicht ausreichend, sie nur als Ziffer "z. B. für die 10" einzuführen.
Mögliche Anlässe die Null natürlich in die Übungen zu integrieren, sind zum Beispiel:


  • Der Countdown, also das Rückwärtszählen bis Null.
  • Wie viele rote Plättchen?
  • Wie viele Finger? Zeige Null Finger.

Hinweis:
Die hier vorgestellten Inhalte behandeln natürlich nicht das gesamte Spektrum, um einen umfassenden Zahlbegriff zu erwerben.
In Ihren Schulbüchern finden Sie oft viele gute Seiten, die die verschiedenen Zahlaspekte thematisieren. Unser Fokus liegt daher auf den Aspekten, die in den meisten Schulbüchern leider zu kurz kommen, obwohl sie für einen tragfähigen Zahlbegriff wesentlich sind.

Im Unterrichtsteil wird eine Übungsform vorgestellt, mit der die kardinale Zahlvorstellung aufgebaut und/oder gefestigt werden kann. 

Hier geht es weiter zum Unterricht