Darstellen ist das Veranschaulichen und Repräsentieren mathematischer Sachverhalte. Darstellen im Zusammenhang mit den Bildungsstandards wird auch als jegliche Art der Veräußerungen des Denkens durch die Kinder verstanden (vgl. Krauthausen & Scherer 2007).
Welche Kompetenzen sollen Kinder bis zum Ende der Grundschulzeit in diesem Bereich erwerben? In den KMK-Bildungsstandards wird das wie folgt beschrieben:

  • für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen und nutzen
  • eine Darstellung in eine andere übertragen,
  • Darstellungen miteinander vergleichen.

(vgl. KMK 2004, S. 8)

Veranschaulichen und Repräsentieren mathematischer Sachverhalte – materialgebundene und bildliche Darstellungen

Mathematische Sachverhalte, Begriffe und Operationen können durch materialgestützte Handlungen, Bilder, mündliche und schriftsprachliche Darstellungen repräsentiert und veranschaulicht werden.
Insbesondere materialgebundene und bildliche Darstellungen unterstützen Kinder dabei, sich einen mathematischen Inhalt zu erschließen und sich selbst ein inneres Bild aufzubauen. Das ist grundlegend für ein verständnisbasiertes Lernen von Mathematik. Umgekehrt bedeutet das, wenn Kinder nicht ausreichend Gelegenheit erhalten in dieser Form zu arbeiten, können Schwierigkeiten im Lernen auftreten.

Schaubild mit der Überschrift „Mathe in den Kopf?!“. Grüner Kreis, der 4 Zugänge zu mathematischen Sachverhalten wechselseitig miteinander verknüpft. Mittig: „Sprechen“, drumherum befinden sich Fotos von Lehrer-Schüler-Gesprächen und Mathekonferenzen. Oben: „Handeln“, darüber Fotos von Kindern, die zum Beispiel mit Plättchen agieren. Rechts: „Bilder“, daneben eine Plättchendarstellung und ein Bild zu einer Rechengeschichte. Links: „Mathe-Sprache“, daneben Fotos von einem Kind beziehungsweise einer Lehrkraft, die an einer Tafel stehen.
PIKAS o.J.a,

(zum Vergrößern anklicken)

Beispielhaft wird an dieser Stelle einer Divisionsaufgabe auf verschiedenen Repräsentationsebenen dargestellt:
... handelnd materialgestützt (Verteilen oder Aufteilen)

Foto von blauen Plättchen, die links ungeordnet auf einem Haufen liegen und rechts zu 3 Gruppen mit jeweils 4 Plättchen sortiert wurden.
Foto von blauen Plättchen, die zu 4 Gruppen mit jeweils 6 Plättchen angeordnet wurden.

... veranschaulicht in Punktbildern

... symbolisch (Ziffern im Positionssystem und Operationszeichen)

24 : 4

Das Wechseln zwischen den verschiedenen Repräsentationsebenen ist eine Herausforderung für die Kinder. Diesen Wechsel zu vollziehen, verlangt Übersetzungsleistungen, die für ein Verständnis der Division unerlässlich sind.
Die in diesem Beispiel genutzen Plättchen zeigen, dass Darstellungsmittel nicht nur in der Einführung von mathematischen Inhalten genutzt werden sollten. Sie dienen auf der einen Seite dem Verstehen des Sachverhalts, dem Entdecken von Mustern und Strukturen und dem Begründen. Auf der anderen Seite können mit ihnen Vorgehensweisen bzw. Ergebnisse dokumentiert und Austauschprozesse unterstützt werden.

Auf den Seiten unserer Partnerprojekte finden Sie weitergehende Informationen und Anregungen:

Lernwege dokumentieren

Im Lernprozess versuchen die Kinder oft, zunächst Aufgaben im Kopf zu lösen und beschreiben ihr Vorgehen mündlich unter Nutzung der Umgangssprache. Kinder sollen angeregt werden, ihre eigenen Wege, ihr Vorgehen und die Ergebnisse von Arbeitsprozessen zu dokumentieren. Das kann in unterschiedlicher Art und Weise erfolgen. Die Darstellungen der Kinder sind individuell und unterscheiden sich qualitativ.

Skizzen zum Veranschaulichen des Lösungsweges

Abbildung einer Tafel mit der Überschrift: „Finde die Mitte von 84 und 256. Veranschauliche dein Vorgehen.“ Darunter Rechenstrich von 84 bis 256. Dazwischen 6 Bögen mit den Schritten „50“, „6“, „30“, „30“, „6“, „50“.

Die Kinder haben für die Darstellung ihrer Lösungswege einen Zahlenstrich ausgewählt. Diese Darstellung ist geeignet, weil man das Vorgehen nachvollziehen und vergleichen kann.

Überlegungen verschriftlichen

Auftrag:

Würfle 30-mal und führe eine Strichliste. Was fällt dir auf? Versuche deine Entdeckungen zu begründen.

Schülerdokument zur Aufgabe: „Würfle 30-mal und führe eine Strichliste.“ Oben: „Was fällt dir auf?“ Antwort: „Das die 6 öfter vorkommt als die anderen Zahlen“. Darunter: „Versuche deine Entdeckungen zu begründen.“ Antwort: „Ich glaube das mein Würfel gezinkt ist. Weil immer wenn ich ein Würfelspiel spiele kommt die 6 nicht so oft vor.“ (Rechtschreibung angepasst)
PIKAS o.J.b

Aufzeichnungen der Kinder bieten Lehrpersonen die Möglichkeit, Einblick in das Denken und Verständis der Kinder zu bekommen. In diesem Beispiel kann man erkennen, dass das Kind sein Versuchsergebnis auf der Grundlage der eigenen Spielerfahrungen beurteilt.

Bildliche Darstellung der Lösung

Auftrag:

Der Eisverkäufer bietet drei Sorten an: Schoko-, Vanille- und Himbeereis. Nina, Tina und Lina möchten sich ein Eis kaufen. Jedes Kind hat Geld für zwei Kugeln Eis. Finde verschiedene Möglichkeiten!

Schülerdokument: Eisstand mit einem Verkäufer und einem Kind. Das Kind hält ein Eishörnchen mit 2 Kugeln in der Hand (rot gelb). Darüber wurden 5 Eishörnchen mit jeweils 2 Kugeln gezeichnet: rot braun, rot rot, gelb gelb, braun braun, gelb braun.

Dieses Kind stellt die Situation so dar, wie es vermutlich seiner Erfahrungswelt entspricht. Dazu gehört der Eismann mit Eiswagen und Sonnenschirm und natürlich das Kind selbst. In dieser Zeichnung finden wir auch alle Lösungen der Aufgaben. Bereits mit Erstklässlern kann am Beispiel einer derartigen Darstellung besprochen werden, was an einer zeichnerischen Darstellung das Wesentliche ist, damit man eine Lösung finden kann.

Eine Darstellung in eine andere übertragen

Dieses Kind hat nach Vorgaben ein Haus aus gelben und roten Steckwürfeln gebaut. Diese (räumliche) Darstellung wurde von ihm im Anschluss in eine bildliche übertragen.

Foto eines Gebäudes aus roten und gelben Steckwürfeln.
Zweidimensionale Seitenansicht des Würfelgebäudes gezeichnet auf Kästchenpapier.

Da der Körper – je nach Perspektive – verschieden aussieht, wurden zwei Ansichten gezeichnet.

Darstellungen miteinander vergleichen

Im folgenden Beispiel erscheint es sicher zunächst sinnvoll, jede Darstellung gesondert zu betrachten und zu klären, welche Informationen entnommen werden können. Im Anschluss kann es interessant sein, zu untersuchen, wie die Informationen der einzelnen Diagramme zusammenhängen. Im Weiteren kann besprochen werden, welches Diagramm für welche Fragestellung besonders geeignet ist.

Gezeichnetes Säulendiagramm. Y-Achse: Von 0 bis 25 in Fünferschritten. X-Achse: Hellblaue Säule für „Mädchen“, grüne Säule für „Jungen“. Die blaue Säule geht bis 8 und die grüne Säule bis 15.
Gezeichnetes Säulendiagramm mit einer Säule, die von 0 bis 15 grün gefärbt wurde und die „Jungen“ abbildet und von 15 bis 23 blau gefärbt wurde und die „Mädchen“ abbildet.
Gezeichnetes Kreisdiagramm, welches zu zweidritteln mit grünen Streifen markiert wurde und die Beschriftung „Jungen“ trägt und zu einem drittel mit blauen Punkten markiert wurde und die Beschriftung „Mädchen“ trägt.

(vgl. auch Binner & Grassmann 2015)

Kinder lernen unterschiedliche Formen der Veranschaulichung kennen und erfahren deren Sinnhaftigkeit und Nützlichkeit. So kann ein Sachverhalt mündlich und schriftsprachlich, möglicherweise auch symbolisch mit Ziffern und Zeichen beschrieben werden. Dabei können auch unterschiedliche Formen grafischer Veranschaulichungen (Tabellen, Skizzen, Diagramme) und Darstellungen mithilfe von Material genutzt werden.
So erfahren Kinder u. a., dass

Die hier beschriebenen Arbeitsweisen zeigen die enge Vernetzung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen. Darstellunen sind Teil von Problemlöseprozessen und hilfreich beim Modellieren. Sie regen zum Kommunizieren an und provozieren das Argumentieren.

  • Skizzen helfen, einen Sachverhalt zu verstehen und zu vereinfachen.
  • Tabellen eine übersichtliche Form der Dokumentation von Ergebnissen experimentellen Arbeitens sein können.
  • eine Dokumentation – zunächst egal in welcher Form – die Kommunikation mit den anderen Lernenden unterstützt.
  • Lesbarkeit, Übersichtlichkeit und auch die adressatengerechte Darstellung von Überlegungen das Verstehen von Vorgehensweisen und Ergebnissen erleichtert.
  • Weitere Anregungen

Weitere Aussführungen und Anregungen für den Unterricht finden Sie auf den Seiten unserer Partnerprojekte:
KIRA: Prozessbezogene Kompetenzen fördern - Beispielaufgaben 
PIKAS: Haus 1 - Informationstexte: Prozess- und inhaltsbezogene Kompetenzen - Illustration durch zehn Unterrichtsbeispiele