Hintergrund

Was gehört zu einem umfassenden Operationsverständnis?

Die Entwickung eines umfassenden Operationsverständnisses zu jeder Rechenoperation ist wichtig, um reale Situationen deuten und diese mit einer Rechenoperation in Verbindung bringen zu können. Im Unterricht gibt es nicht selten Kinder, die auch ohne ein umfassendes Verständnis für Operationen ihre Schulzeit durchlaufen und lediglich Regeln und Verfahren "auswendig" lernen und anwenden.

Eigenaktivität

Rechnen Sie zunächst folgende Rechenaufgabe: "3 : ½"

Überlegen Sie sich zu dieser Aufgabe ein passendes Bild oder eine Rechenaufgabe. Was stellen Sie sich vor?
 

Kommentar zur Eigenaktivität

Zugegeben, diese Aufgabe ist nicht leicht. Doch warum fällt uns diese Aufgabe so schwer?

Die Rechenaufgabe lässt sich natürlich mit der Rechenregel ausrechnen ("mit dem Kehrwert multiplizieren"):

3 : ½ = 3 * 2/1 = 6
 
Durch das ledigliche Anwenden dieser Rechenregel wird aber nicht klar, was an dieser Stelle das Divisionszeichen (:) "inhaltlich" bedeutet.

Welche Vorstellungen sind nötig, um die oben genannte Aufgabe wirklich inhaltlich verstehen zu können?

Ein mögliches Bild wäre folgendes:

Ein möglicher Kontext wäre folgender:

"Wie viele ½ l -Portionen können aus 3 l hergestellt werden?"

Diese Bruchaufgabe verdeutlicht, dass es nicht ausreicht, Rechenregeln anzuwenden, um eine Vorstellung davon zu haben, was die Rechenaufgabe 3:½ eigentlich bedeutet.
Den Rechenweg zu kennen, heißt nicht gleichzeitig zu wissen, was die Rechenoperation (hier die Division) inhaltlich für diese Aufgabe überhaupt bedeutet.

Die schnelle Beherrschung und Automatisierung von Rechenfertigkeiten sollte nicht im Vordergrund des Mathematikunterrichts stehen!

Erst wenn man die Aufgabe in eine andere "Darstellungsform" bringen und zwischen den Darstellungen wechseln kann, hat man eine tragfähige Grundvorstellung zur Division von Brüchen aufgebaut und kann verstehen, was genau ausgerechnet wird, wenn man die Rechenregeln für Brüche anwendet

Grundvorstellungen zur Subtraktion

Zur Entwicklung eines umfassenden Operationsverständnisses müssen unter anderem sogenannte Grundvorstellungen zur Rechenoperation aufgebaut werden. Zu jeder Rechenoperation gibt es verschiedene Grundvorstellungen, die mit unterschiedlichen Auffassungen zur Operation verknüpft sind (vgl. Fromme, Wartha & Benz 2011).

Im Folgenden liegt der Fokus auf dem Aufbau des Operationsverständnisses zur Subtraktion.

Von einer "Grundvorstellung zur Subtraktion" im natürlichen Zahlenraum wird immer dann gesprochen, wenn in einem Zahlentripel (Konstellation dreier Zahlen: beispielsweise 3, 5, 8) eine der kleineren Zahlen (Teilmenge) gesucht wird: 8 - 3 = ?, 8 - ? = 3, 3 + ? = 8. ? + 5 = 8, 8 - ? = 5 oder 8 - 5 = ? (vgl. u.a. Selter, Prediger, Nührenbürger & Hussmann 2012; Wessel 2015). Im Gegensatz dazu wird bei Grundvorstellungen zur Addition nach der größten Zahl (Gesamtheit) gefragt: 3 + 5 = ?, 5 + 3 = ?.

 

Die Subtraktion wird oft mit "etwas wegnehmen/abgeben/vermindern" oder Ähnlichem in Verbindung gebracht. Viele Kinder verfügen bereits vor Schuleintritt über diese oder eine ähnliche Handlungsvorstellung von Subtraktion, da sie häufig in Spiel- und Alltagssituationen vorkommt und die "natürliche" Umkehrung zur Vorstellung von Addition als "Hinzufügen/Dazutun" verkörpert. 

An diese Vorerfahrungen der Kinder mit der Subtraktion knüpfen auch Schulbücher an, indem sie die Subtraktion über die Grundvorstellung des "Abziehens" einführen. Doch ebenso ist es wichtig, den Kindern im Laufe des ersten Schuljahres zu vermitteln, dass die Subtraktion noch mehr ist als nur "Abziehen" (vgl. Wartha & Schulz 2013, S. 32).

Bei der Subtraktion gibt es folgende drei zentrale Grundvorstellungen (vgl. Fromme et al. 2011, S. 36; Padberg & Benz 2011, S. 115):

 

Torben möchte sechs Eier zum Frühstück machen. Ein Ei fällt ihm auf den Boden. Wie viele Eier kann er jetzt noch machen?

Jan hat neun Äpfel. Paula hat sechs Äpfel. Wie viele Äpfel hat Jan mehr als Paula?

Marie hat neun Puzzleteile zusammengesetzt. Das Bild hat insgesamt zwölf Teile. Wie viele Teile fehlen ihr noch?

Das zeigt, dass es verschiedene Lösungwege für Subtraktionsaufgaben gibt. Beim Abziehen wird das Ergebnis durch ein Abziehen des Subtrahenden vom Minuenden bestimmt. Beim Ergänzen wird zur Lösung der Aufgabe vom Subtrahenden zum Minuenden ergänzt, wobei das "Hinzugefügte" das Ergebnis der Aufgabe darstellt. Beim Vergleichen wird das Ergebnis über den Unterschied zwischen der Gesamtheit und einer Teilmenge ermittelt (vgl. Wessel 2015).

Neben diesen drei dargestellten gibt es bei der Subtraktion weitere Grundvorstellungen. Zum Beispiel kann Subtrahieren auch eher statisch gedeutet werden im Sinne des "Enthalten sein" (Es gibt Plättchen in zwei Farben. 2 von 11 Plättchen sind rot. Wie viele sind blau?).

Alle Grundvorstellungen können anhand von lebensweltlichen Situationen, wie beispielsweise beim Sammeln von Kastanien (linke Abbildung), verdeutlicht werden.

Dabei sollte die Eindeutigkeit von Bildern stets hinterfragt werden. Denn Bilder sind immer ein eigener Lernstoff mit möglichen Hürden und können oftmals mehrdeutig interpretiert werden.

Vergleichssituationen zu lösen, fällt Kindern oft schwerer als Situationen des Abziehens oder Ergänzens, so belegen es auch Studien (vgl. u. a. von Stern 1998).
Doch woran liegt das? 

Ein Grund für diese Schwierigkeiten beim Lösen von Vergleichssituationen ist die fehlende oder mindestens nachrangige Thematisierung aller Grundvorstellungen zur Subtraktion in Schulbüchern und damit im Mathematikunterricht.

Ein weiterer Grund ist, dass den Kindern bei Situationen zum "Abziehen" oder "Ergänzen" in den Aufgabenformulierungen konkrete Handlungsanweisungen gegebenen werden, wie z. B.

• "Wenn ich drei Kastanien wegnehme, wie viele bleiben übrig?"
• "Wie viele Kastanien müsste ich noch bekommen/abgeben, damit wir gleich viele haben?"

Die Kinder können diese Handlung konkret am Material oder mental im Kopf durchführen. Bei Situationen zum "Vergleichen" fehlt dieser Hinweis in der Aufgabenformulierung. Die Kinder stehen vor der Herausforderung, die Begrifflichkeiten "mehr" und "weniger" inhaltlich zu verstehen. 

Tipp: Sie können eine Vergleichsaufgabe "Wie viele Kastanien habe ich mehr/weniger?" zu Beginn der Thematisierung als Hilfestellung für die Kinder in eine Ergänzungsaufgabe umformulieren: "Wie viele Kastanien muss ich bekommen/abgeben, um gleich viele zu haben?". Wichtig ist dabei die Verknüpfung beider Vorstellungen mit der Subtraktion.

Fähigkeit zum Darstellungswechsel

Welche Darstellungsformen gibt es?

 

Die verschiedenen Darstellungsformen (Handlung, Bild, Sprache, Mathesprache) können nicht alleinig durch ihre Präsenz ein Operationsverständnis erzeugen, denn die Rechenoperation kann nicht "gesehen" werden, sondern muss immer erst in die entprechende Darstellungsform hineininterpretiert werden.

Zum Operationsverständnis gehört demnach die Fähigkeit, Verbindungen zwischen allen Darstellungsformen zu einer Rechenaufgabe herstellen zu können. Dabei stellen diese Wechsel, also das "Übersetzen" zwischen den verschiedenen Darstellungsformen, einen komplexen Prozess dar. Die Darstellungsformen müssen immer wieder verglichen werden und sind keinesfalls als "Einbahnstraßen" zu verstehen. Die Kinder sollen "netzartige Geflechte" entwickeln mit dem Ziel, zwischen den verschiedenen Darstellungen flexibel hin- und herübersetzen zu können.

Die Aufgabe "Wie viele Äpfel hat Jan mehr als Paula?" kann durch Nachspielen der Situation, also innerhalb der Darstellungsform "Handlung" (durch eine "Eins-zu-Eins-Zuordnung" und anschließendem Abdecken/Wegschieben von Äpfeln/Plättchen), gelöst werden, durch das Anfertigen eines passenden Bildes und/oder durch das Übersetzen in die Rechenaufgabe "9 - 6". 

Vermutlich haben Sie die Übersetzungen zwischen den verschiedenen Darstellungsformen bereits verinnerlicht, gar "automatisiert" und nehmen diese gar nicht mehr so bewusst wahr. Dem Kind sind diese für uns "einfachen" Darstellungswechsel keinesfalls unmittelbar klar und stellen eine große Herausforderung dar. Denn für das Kind ist es ein Unterschied, ob eine Aufgabe als konkrete Sachsituation, als Bild oder symbolisch als Rechenaufgabe vorliegt.

Wenn ein Kind die "Apfelaufgabe" mit Äpfeln mit Hilfe von Plättchen oder gezeichneten Kreisen löst, dann hat das für das Kind möglicherweise nichts mit der Rechenaufgabe "9 - 6" zu tun. Und wenn man dem Kind sagt, dass es die Aufgabe "9 - 6" lösen kann, indem es von der Zahl 9 um 6 Schritte zurückzählt, dann verknüpft das Kind diese Zählhandlung vermutlich weniger mit der Sachsituation, denn schließlich kann das Zählen "mechanisch" durchgeführt werden ohne jede Vorstellung von einem konkreten Kontext.

„Kinder scheitern bei 'Übersetzungsprozessen', wenn sie nicht verstehen, was sie tun" (Hess 2012, S. 201).

Von großer Bedeutung für den Aufbau eines Operationsverständnisses ist das Handeln an geeignetem didaktischen Material (siehe auch: Material). Deswegen ist es wichtig, dass Kinder Zahlen und Mengen am Material strukturiert darstellen können, z. B. am Zwanzigerfeld oder an Rechenketten.

Letztendlich muss sich jedes Kind selbst sein eigenes Operationsverständnis aufbauen. Deswegen ist es wichtig, Übersetzungen zwischen allen Darstellungsformen bewusst zu fördern und mit den Kindern zu klären, wann und warum eine Darstellungsform "passt". Dafür gibt es Aktivitäten im Unterricht, die diesen Prozess unterstützen können (vgl. Häsel-Weide 2014). Eine Beispielaktivität - "Minustrio" - finden Sie im Unterrichtsteil.

Erkennen und Nutzen von Beziehungen und Strukturen zwischen Aufgaben

Eigenaktivität

Schaunen Sie sich das KIRA-Video an, in dem Lina die Aufgabe 5 - 2 löst.

Welche Beziehung nutzt Lia aus?

 

Kommentar zur Eigenaktivität

Lia rechnet die Aufgabe "5 minus 2" durch das Ausnutzen der Beziehung zur Addition, also ihrem Wissen zur Zerlegung der Fünf, denn "3 plus 2" sind fünf. Sie schlussfolgert aufgrund der Teil-Ganze-Beziehung, dass wenn man von fünf zwei wegnimmt, es drei sein müssen (vgl. KIRA 2011)

• ein gesichertes Teile-Ganzes-Verständnis (Tipp: Schauen Sie sich die Seite Zahlvorstellung an.)
• die gedächtnismäßige Verfügung über sogenannte Zahlentripel (7/5/12; 7 + 5 = 12; 12 - 5 = 7)
• und die Grundvorstellung der Subtraktion als "Ergänzen" (vgl. PIK AS 2016b)

Durch geeignete Übungsformate, wie beispielsweise Entdecker-Päckchen (Tipp: Schauen Sie sich die Seite Üben an.), können Kinder angeregt werden, Beziehungen und Strukturen zwischen Aufgaben zu entdecken und auszunutzen. Die Kinder sollten im Laufe der Grundschulzeit folgende geschickte, nicht-zählenden Rechenstrategien entwickeln:

(Tipp: Schauen Sie sich die Seite halbschriftliche Rechenstrategien an.)

Die Kinder müssen inhaltlich verstehen, warum die Rechenregel - in diesem Fall das Vertauschen der Zahlen bei der Subtraktion (7 - 5 ist nicht das gleiche wie 5 - 7) - "nicht geht" und es nicht einfach auswendig lernen, dass es eben "verboten" ist, die Zahlen zu vertauschen.

Es ist wichtig, diese Operationseigenschaften mit Hilfe anderer Darstellungsformen zu veranschaulichen, beispielsweise indem passende Handlungen (Rollenspiele) zu Aufgaben durchgeführt werden:
So können von sieben Äpfeln problemlos fünf Äpfel abgegeben werden, dann bleiben noch zwei Äpfel übrig. Doch wenn man von fünf vorher eingesammelten Äpfeln sieben Äpfel abgeben möchte, fehlen noch zwei Äpfel, um sie überhaupt weggeben zu können. 

Hier und im Materialteil finden Sie eine Übersichtstabelle über die Operationseigenschaften der Subtraktion.

Operationseigenschaften der Subtraktion

Zusammenfassung